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Punto al infinito

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El punto al infinito o punto en el infinito es una entidad topológica y geométrica que se introduce a modo de cierre o frontera infinita del conjunto de los números reales.

\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{\infty\}

Para que el punto en el infinito represente efectivamente el infinito real se define en \overline{\mathbb{R}} la topología \overline{T} formada por todos los conjuntos:

  • A que son abiertos de \mathbb{R}
  • B que son complementarios de conjuntos compactos (cerrados y acotados) de \mathbb{R} .

Los conjuntos A son los abiertos de \overline{\mathbb{R}} que no contienen el \infty mientras que los conjuntos B son los que sí lo contienen.

Sea x_n\in\mathbb{R} una sucesión de números reales tales que \lim_{n \to \infty}x_n = \infty. Dentro del conjunto de los números reales, esto quiere decir únicamente que:

\forall K>0\ \exists m\in \mathbb{N} | si\ n>m \Rightarrow x_n \notin [-K,K]

Pero esta misma condición implica en \overline{\mathbb{R}} que

\forall B|\infty\in B \ \exists m\in N | si\ n>m \Rightarrow x_n\in B

es decir que en \overline{\mathbb{R}} se escribe también \lim_{n \to \infty}x_n = \infty. Sin embargo, sólo en \overline{\mathbb{R}} se puede decir que la sucesión xn converge, puesto que \infty\notin \mathbb{R}.

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