Promedio

De Wikipedia, la enciclopedia libre

En matem�ticas, el promedio es un t�rmino que define el valor caracter�stico de un conjunto de n�meros, existen varios m�todos para calcularlos como la media aritm�tica, media geom�trica, media ponderada o la media arm�nica. El promedio tambi�n representa el valor t�pico o el valor que representa la poblaci�n. Una limitaci�n del promedio es que se ve afectado por valores extremos; valores muy altos, tienden a aumentarlo; por otro lado, valores muy bajos, tienden a bajarlo, lo que implica que puede dejar de ser tan representativo de la poblaci�n.

[editar] S�mbolos y aplicaciones en matem�ticas

El s�mbolo $\bar{x}$ se emplea en matem�ticas y estad�stica en el c�lculo del promedio o la media y representa la media aritm�tica. Para la media geom�trica y otros promedios sirve como caracter�stica para disitinguir la abreviaci�n como sub�ndice del c�lculo del promedio �ndice: ( $\bar{x}_\mathrm{geom}$ , $\bar{x}_\mathrm{arm}$ )
La integral de Riemann se representa con el s�mbolo $\bar{f}$ . Los valores promedios de la integraci�n se representan con una peque�a m.
$\bar v$ es el s�mbolo para definir la velocidad media.

[editar] Ejemplos de promedios

[editar] Media aritm�tica

Art�culo principal: Media aritm�tica

La media aritm�tica es un promedio "standard" que a menudo se denomina "promedio".

$\bar{x} = \frac{1}{n}\cdot \sum_{i=1}^n{x_i}$

La media se confunde a veces con la mediana o moda. La media aritm�tica es el promedio de un conjunto de valores, o su distribuci�n; sin embargo, para las distribuciones con sesgo, la media no es necesariamente el mismo valor que la mediana o que la moda. La media o moda son elementos intuitivos de medir los datos. Es a veces una forma de medir el sesgo de una distribuci�n tal y como se puede hacer en las distribuciones exponencial y en la poisson.

Por ejemplo, la media aritm�tica de 34, 27, 45, 55, 22, 34 (seis valores) es (34+27+45+55+22+34)/6 = 217/6 ? 36.167.

[editar] Media geom�trica

La media geom�trica es un promedio que es demaciado �til en conjuntos de n�meros que son interpretados en orden de su producto, no de su suma (tal y como ocurre con la media aritm�tica). Por ejemplo las velocidades de crecimiento.

$\bar{x} = \left ( \prod_{i=1}^n{x_i} \right ) ^{1/n}$

Por ejemplo, la media geom�trica de la serie de n�meros 34, 27, 45, 55, 22, 34 (seis valores) es (34�27�45�55�22�34)^1/6 = 1,699,493,400^1/6 ? 34.545.

[editar] Media arm�nica

La media arm�nica es un promedio muy �til en conjuntos de n�meros que se definen en relaci�n con alguna unidad, por ejemplo la velocidad (distancia por unidad de tiempo).

$\bar{x} = n \cdot \left ( \sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i} \right ) ^{-1}$

Por ejemplo la media arm�nica de los n�meros 34, 27, 45, 55, 22, y 34 es:

$\frac{6}{\frac{1}{34}+\frac{1}{27}+\frac{1}{45} + \frac{1}{55} + \frac{1}{22}+\frac{1}{34}}\approx 33.0179836.$

[editar] Medias generalizadas

Art�culo principal: Media generalizada

[editar] Media exponencial

Las media generalizadas, tambi�n conocidas como medias exponenciales o medias de H�lder, son una abstracci�n de las medias cuadr�ticas, aritm�ticas, geom�tricas y arm�nicas. Definidas y agrupadas por la siguiente expresi�n:

$\bar{x}(m) = \left ( \frac{1}{n}\cdot\sum_{i=1}^n{x_i^m} \right ) ^{1/m}$