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Producto vectorial

De Wikipedia

En álgebra lineal, el producto vectorial es una operación binaria entre dos vectores de un espacio euclídeo tridimensional que da como resultado un vector ortogonal a los dos vectores originales.

Con frecuencia se lo llama también producto cruz (pues se lo denota mediante el símbolo ×) o producto externo (pues está relacionado con el producto exterior).

Tabla de contenidos

[editar] Definición

Relaciones entre los vectores definidos en esta sección.

Sean dos vectores a y b en el espacio vectorial ?3. El producto vectorial entre a y b, como se mencionó antes, da como resultado un nuevo vector, al que llamaremos c. Para definir este nuevo vector es necesario especificar su módulo, dirección y sentido:

  • El módulo de c está dado por
\left \Vert \mathbf{c} \right \Vert = \left \Vert \mathbf{a} \right \Vert \left \Vert \mathbf{b} \right \Vert \sin{\theta}

donde ? es el ángulo entre a y b.

  • La dirección de c es tal que c es ortogonal a a y ortogonal a b.
  • El sentido en el que apunta el vector c está dado por la regla del sacacorchos.

El producto vectorial entre a y b se denota mediante a × b, por ello se lo llama también producto cruz. Para evitar confusiones con la letra x, algunos autores denotan el producto vectorial mediante a ? b cuando escriben a mano.

El producto vectorial puede definirse de una manera más compacta de la siguiente manera:

\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \hat n \left \Vert \mathbf{a} \right \Vert \left \Vert \mathbf{b} \right \Vert \sin{\theta}

donde \hat n es el vector unitario y ortogonal a los vectores a y b y su sentido está dado por la regla del sacacorchos y ? es, como antes, el ángulo entre a y b. A la regla del sacacorchos se la llama a menudo también regla de la mano derecha.

[editar] Base del espacio vectorial

Sea un sistema de referencia S = \{O; \vec i , \vec j , \vec k \} en el espacio vectorial ?3. Se dice que S es una base ortonormal derecha si cumple con las siguientes tres condiciones:

  1. \langle \vec i , \vec j \rangle = \langle \vec j , \vec k \rangle = \langle \vec k , \vec i \rangle = 0 , es decir, los tres vectores son ortogonales entre sí;
  2. \left \Vert \vec i \right \Vert = \left \Vert \vec j \right \Vert = \left \Vert \vec k \right \Vert = 1 , es decir, los vectores son ortonormales (y por lo tanto, dada la propiedad anterior, son versores);
  3. \vec i \times \vec j = \vec k ; \vec j \times \vec k = \vec i ; \vec k \times \vec i = \vec j, es decir, siguen la regla de la mano derecha (también llamada "regla del sacacorchos").

En la primera propiedad, \langle \cdot , \cdot \rangle denota producto interno.

[editar] Producto vectorial

Sean \vec u = u_x \vec i + u_y \vec j + u_z \vec k y \vec v = v_x \vec i + v_y \vec j + v_z \vec k dos vectores concurrentes de \mathbb{R}^3 , el espacio afín tridimensional según la base anterior.

Se define el producto \times : \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}^3 , y se escribe \vec u \times \vec v , como el vector:


\vec u \times \vec v = \left( det \begin{pmatrix} u_y & u_z \\ v_y & v_z \\ \end{pmatrix} \cdot \vec i - det \begin{pmatrix} u_x & u_z \\ v_x & v_z \\ \end{pmatrix} \cdot \vec j + det \begin{pmatrix} u_x & u_y \\ v_x & v_y \\ \end{pmatrix} \cdot \vec k \right)

En el que

det \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \\ \end{pmatrix} = a \cdot d - b \cdot c , es el determinante de orden 2.

O usando una notación más compacta, mediante el desarrollo de un determinante de orden 3 por la primera fila, también decimos:

\vec u \times \vec v = det \begin{pmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ u_x & u_y & u_z \\ v_x & v_y & v_z \\ \end{pmatrix} = det \begin{pmatrix} u_y & u_z \\ v_y & v_z \\ \end{pmatrix} \cdot \vec i - det \begin{pmatrix} u_x & u_z \\ v_x & v_z \\ \end{pmatrix} \cdot \vec j + det \begin{pmatrix} u_x & u_y \\ v_x & v_y \\ \end{pmatrix} \cdot \vec k

Que da origen a la llamada regla del sacacorchos: girando el primer vector hacia el segundo por el ángulo más pequeño, el sentido de \vec u \times \vec v es el de un sacacorchos que gire en el mismo sentido.

[editar] Ejemplo

Sean los vectores:

\vec a = (2,0,1)

y

\vec b = (1,-1,3)

El producto vectorial entre a y b se calcula como:

\vec a \times \vec b = \begin{pmatrix} \hat \imath & \hat \jmath & \hat k \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 3 \\ \end{pmatrix}

Expandiendo el determinante:

\vec a \times \vec b = \hat \imath \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 3 \\ \end{pmatrix} + (-1) \hat \jmath \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \\ \end{pmatrix} + \hat k \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & -1 \\ \end{pmatrix} = \left ( 0 \cdot 3 - 1 \cdot (-1) \right )\hat \imath + (-1) \left ( 2 \cdot 3 - 1 \cdot 1 \right )\hat \jmath + \left ( 2 \cdot (-1) - 0 \cdot 1 \right )\hat k = \hat \imath - 5 \hat \jmath - 2 \hat k

Por lo tanto

\vec a \times \vec b = (1,-5,-2)

Puede verificarse fácilmente que a × b es ortogonal al vector a y al vector b utilizando el producto escalar y verificando que éste da cero como resultado (condición de perpendicularidad de vectores).

[editar] Propiedades

Cualesquiera que sean los vectores \vec a , \vec b y \vec c en \mathbb{R}^3 :

  1. \vec a \times \vec b = - \vec b \times \vec a , (anticonmutatividad)
  2. \langle \vec a , (\vec a \times \vec b) \rangle = \langle \vec b , (\vec a \times \vec b) \rangle = 0 (el producto vectorial es perpendicular a cualquiera de los factores),
  3. Si \vec a \neq \vec 0 y \vec b \neq \vec 0 entonces \vec a \times \vec b = \vec 0 \Longleftrightarrow \vec a || \vec b (el producto cruz de dos vectores paralelos es cero).
  4. ( \vec a + \vec b ) \times \vec c = \vec a \times \vec c + \vec b \times \vec c ,
  5. \vec a \times ( \vec b \times \vec c ) = \langle \vec a , \vec c \rangle \vec b - \langle \vec a , \vec b \rangle \vec c

[editar] Otras propiedades

Continuando con los vectores del apartado anterior y con la norma vectorial habitual:

  • \langle \vec a , \vec b \times \vec c \rangle = \langle \vec a \times \vec b , \vec c \rangle . El valor absoluto de esta operación corresponde al volumen del paralelepípedo formados por los vectores \vec a, \vec b y \vec c. A esta operación se la conoce como producto mixto, pues combina producto escalar y producto vectorial.
  • \| \vec a \times \vec b \| = \| \vec a \| \cdot \| \vec b \| \cdot \sin \theta , siendo ? el ángulo menor entre los vectores \vec a y \vec b; esta expresión relaciona al producto vectorial con el área del paralelogramo que definen ambos vectores.
  • El vector \vec n = \frac{ \vec a \times \vec b }{\| \vec a \times \vec b \|} es el vector normal al plano que contiene a los vectores \vec a y \vec b.

[editar] Vectores axiales

Cuando consideramos dos magnitudes físicas vectoriales, su producto vectorial es otra mangitud física aparentemente vectorial que tiene un extraño comportamiento respecto a los cambios de sistema de referencia. Los vectores que presentan esas anomalías se llaman pseudovectores o vectores axiales. Esas anomalías se deben a que no todo ente formado de tres componentes es un vector físico.

[editar] Dual de Hodge

Artículo principal: Dual de Hodge

En el formalismo de la geometría diferencial de las variedades riemannianas la noción de producto vectorial se puede reducir a una operación de dual de Hodge del producto de dos formas diferenciales naturalmente asociadas a dos vectores. Así el producto vectorial es simplemente:

\vec{a} \times \vec{b} = *(\phi_\vec{a} \wedge \phi_\vec{b})


Donde \phi_\vec{a}, \phi_\vec{b} denotan las 1-formas naturalmente asociadas a los dos vectores.

El producto vectoral sólo es definible en tres dimensiones no existe ninguna extensión posible a otras dimensiones, cosa que puede probarse examinando la dimensionalidad del espacio de las (d-2)-formas y el de las 1-formas que solo coinciden para d = 3.

[editar] Otras operaciones vectoriales

Los vectores tienen definida la operación interna de adición de forma sencilla y casi evidente pero para el producto de dos vectores se definen tres operaciones externas:

Con el producto escalar de vectores se encuentra que se pueden definir ángulos y distancias (ver operador norma) de una forma fácil y directa. Con el producto vectorial, también llamado producto cruz, encontraremos otra manera también de definir ángulos y áreas de paralelogramos definidos por dos vectores de una forma tal que permitirá expresar volúmenes fácil y sencillamente con el producto mixto.

El producto vectorial da como resultado un vector a partir de otros dos, pero no tiene por qué ser en el mismo espacio vectorial; pues en el plano definido por los dos vectores que se operan, el producto vectorial es una operación externa ya que su resultado es un vector perpendicular a dicho plano. Pero en el espacio afín tridimensional, \mathbb{R}^3 , el producto vectorial es una operación interna.

Por ello el producto vectorial se define en ?3.

[editar] Temas relacionados

[editar] Enlaces externos