Longitud de arco
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En matemática, la longitud de arco, también llamada rectificación de una curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas, la llegada del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos.
Tabla de contenidos |
[editar] Métodos modernos
Al considerar una función 
y su respectiva derivada 
que son continuas en un intervalo [a, b]. La longitud s del arco delimitado por a y b es dado por la fórmula:
![s = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left [ f' \left ( x \right ) \right ] ^2} \, dx](http://upload.wikimedia.org/math/1/3/3/133168f486dc5c826d017f7f7d5bf32a.png) |
Si la función esta definida parametricamente donde 
e 
:
![s = \int_{a}^{b} \sqrt{\left [ f' \left ( t \right ) \right ] ^2 + \left [ g' \left ( t \right ) \right ] ^2} \, dt](http://upload.wikimedia.org/math/5/5/e/55e783459eb5ac24d3b7e55a8b6cfff8.png)
Si la función esta definida por coordenadas polares donde la coordenadas radial y el ángulo polar están relacionados r = f(?), la longitud de una curva se reduce a:
![s = \int_{a}^{b} \sqrt{r^2 + \left [ \frac {dr}{d \theta\ } \right ] ^2} \, d \theta\](http://upload.wikimedia.org/math/3/6/f/36f531b3e2788278bd66d5f3f9ae67d1.png)
En la mayoría de los casos, no hay una solución cerrada disponible y será necesario usar métodos de integración numérica. Por ejemplo, aplicar esta fórmula a la circunferencia de una elipse llevará a una integral elíptica de segundo orden.
Entre las curvas con soluciones cerradas están la catenaria, el círculo, la cicloide, la espiral logarítmica, la parábola, la parábola semicúbica y la línea recta.
[editar] Métodos Históricos
[editar] Antigüedad
A través de la historia de las matemáticas, grandes pensadores consideraron imposible calcular la longitud de un arco irregular. Aunque Arquímedes había descubierto una aproximación rectangular para calcular el área bajo una curva con un método de agotamiento, pocos creyeron que era posible que una curva tuviese una longitud definida, como las líneas rectas. Las primeras mediciones se hicieron posibles, como ya es común en el cálculo, a través de aproximaciones: los matemáticos de la época trazaban un polígono dentro de la curva, y calculaban la longitud de los lados de éste para obtener un valor aproximado de la longitud de la curva. Mientras se usaban más segmentos, disminuyendo la longitud de cada uno, se obtenía una aproximación cada vez mejor.
[editar] s. XVII
En esta época, el método de agotamiento llevó a la rectificación por métodos geométricos de muchas curvas trascendentales: la Espiral logarítmica de Torricelli en 1645 (algunos piensan que fue John Wallis en 1650), el Cicloide de Christopher Wren en 1658, y la Catenaria de Gottfried Leibniz en 1691.
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