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Función exponencial

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Funciones exponenciales para a = e (rojo), a = 10 (verde) y a = 1,7 (violeta).
Funciones exponenciales para a = e (rojo), a = 10 (verde) y a = 1,7 (violeta).

La función exponencial (propiamente dicha) es una función matemática, que aparece además en muchísimas ecuaciones de la física. Esta función exponencial se caracteriza porque los valores de la derivada de dicha función son iguales al valor de la propia función (siendo la función exponencial la única función con esta propiedad). Además la función exponencial es la función inversa del logaritmo natural. Esta función se denota equivalentemente como:

x \mapsto e^x \qquad \mbox{o} \qquad x \mapsto \exp(x)


Donde e es la base de los logaritmos naturales.

En términos generales, una función real F(x) es de tipo exponencial si tiene la forma

F(x)=K \cdot a^x


siendo a, K \in \mathbb{R} números reales. Se observa en los gráficos que si a > 1 la curva será creciente.

Propiedades

Todas sus propiedades provienen de las propiedades del logaritmo. Se llama (función) exponencial la función definida sobre los reales por x ?ex.

  • La exponencial es la única función que es siempre igual a su derivada (de ahí su especial interés en el análisis, más precisamente para las ecuaciones diferenciales), y que toma el valor 1 cuando la variable vale 0.
  • La exponencial transforma una suma en una constante de la forma intrínseca del vertice de las siguientes ecuaciones:
  • Relación adición-multiplicación: e^{a+b} = e^a \cdot e^b
  • e^{-a} = {1 \over e^a}
  • e^{a - b} = {e^a \over e^b}
  • Sus límites en son \lim_{x\to -\infty} e^x = 0, \qquad \lim_{x\to +\infty} e^x = \infty
  • Inversa del logaritmo: y = \exp x \qquad x = \ln y\ (y>0)
  • La tangente en x = 1, T1, pasa por el origen. La tangente en x = 0, T0, pasa por el punto (-1, 0).
  • La exponencial se extiende al cuerpo de los complejos, y satisface la sorprendente relación:

e^{i \cdot t} = \cos t + i \cdot \mbox{sen } t.


Un caso particular de esta relación es la identidad de Euler, conocida también como la fórmula más importante del mundo. Más generalmente:

e^{a+bi} = e^{a}\cdot(\cos b + i \mbox{sen } b)


[editar] Derivada

Gráfico de la parte real de una función exponencial en el campo de los complejos
Gráfico de la parte real de una función exponencial en el campo de los complejos
z=\operatorname{Re} \left (\exp \left( x + i y \right)\right)

La importancia de las funciones exponenciales en matemática y ciencias radica principalmente de las propiedades de su derivada. En particular,

{d \over dx} e^x = e^x


Esto se puede demostrar usando el teorema de la función inversa:

y=e^{x}\;, \; x=\ln y\; ;

\left[ e^{x} \right]'=\frac{1}{\left[ \ln y \right]'}=\frac{1}{\frac{1}{y}}=y=e^{x} \ \ \mbox{QED}

Es decir, ex es su propia derivada. Es la única función con esa propiedad (sin tomar en cuenta la multiplicación de la función exponencial por una constante). Otras formas de expresar lo anterior:

  • La pendiente del gráfico en cualquier punto es la altura de la función en ese punto.
  • La razón de aumento de la función en x es igual al valor de la función en x.
  • La función es solución de la ecuación diferencial y' = y.

[editar] Definición formal

La función exponencial ex puede ser definida de diversas maneras equivalentes entre sí, como una serie infinita. En particular puede ser definida como una serie de potencias:

e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots


o como el límite de la sucesión:

e^x = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + {x \over n} \right)^n


este es un proceso

[editar] Véase también