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Espacio vectorial

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Un espacio vectorial (o espacio lineal) es el objeto b�sico de estudio en la rama de la matem�tica llamada �lgebra lineal. Las operaciones que podemos realizar entre ellos son: la suma de vectores y la multiplicaci�n por un escalar, el producto punto, el producto vectorial y el triple producto escalar con algunas restricciones naturales como el cierre de estas operaciones, la asociatividad de estas y la combinaci�n de estas operaciones, siguiendo, llegamos a la descripci�n de una estructura matem�tica llamada espacio vectorial.

Tabla de contenidos

1 Definici�n formal
2 Propiedades del espacio vectorial.
- 2.1 Otras propiedades.
3 Otra forma de definir un espacio vectorial
4 V�ase tambi�n
5 Enlaces externos

[editar] Definici�n formal

Dado un cuerpo conmutativo de escalares K (como el cuerpo de los n�meros reales o el cuerpo de los n�meros complejos). Y un conjunto V dotado de una ley de composici�n interna (+), (suma de vectores), y una ley de composici�n externa (�), (producto por un escalar), respecto al cuerpo K, es un espacio vectorial si y solo si:

V tiene estructura de grupo conmutativo, respecto a la ley de composici�n interna (+), (suma de vectores). Esto significa que:

1. La suma de vectores es ley de composici�n interna.

$\forall \vec{x} \in V \land \forall \vec{y} \in V \Rightarrow \vec{x} + \vec{y} \in V$

2. La suma de vectores es asociativa.

$\forall \vec{x} \in V \land \forall \vec{y} \in V \land \forall \vec{w} \in V \Rightarrow \vec{x} + (\vec{y} + \vec{w}) = (\vec{x} + \vec{y}) + \vec{w}$

3. La suma de vectores es conmutativa.

$\forall \vec{x} \in V \land \forall \vec{y} \in V \Rightarrow \vec{x} + \vec{y} = \vec{y} + \vec{x}$

4. Existe un elemento neutro o nulo.

$\forall \vec{x} \in V : \exist \vec{o} \in V \Rightarrow \vec{x} + \vec{o} = \vec{x}$

5. Existe un elemento sim�trico u opuesto aditivo.

$\forall \vec{x} \in V : \exist \vec{y} \in V \Rightarrow \vec{x} + \vec{y} = \vec{o}$

D�nde $\vec{o}$ representa el vector nulo.

Respecto a su ley de composici�n externa (�), (producto por un escalar), se cumple:

6. El producto es ley de composici�n externa.

$\forall \vec{x} \in V \land \forall a \in K \Rightarrow a \cdot \vec{x} \in V$

7. El producto posee asociatividad mixta.

$\forall a, b \in K \land \forall \vec{x} \in V \Rightarrow a \cdot (b \cdot \vec{x}) = (a \cdot b) \cdot \vec{x}$

8. El producto es distributivo respecto a la suma en V.

$\forall a \in K \land \forall \vec{x},\vec{y} \in V \Rightarrow a \cdot (\vec{x} + \vec{y}) = a \cdot \vec{x} + a \cdot \vec{y}$

9. El producto es distributivo respecto a la suma en K.

$\forall a, b \in K \land \forall \vec{x} \in V \Rightarrow (a+b) \cdot \vec{x} = a \cdot \vec{x} + b \cdot \vec{x}$

10. Existe el elemento neutro para el producto.

$\exist a \in K / \forall \vec{x} \in V \Rightarrow a \cdot \vec{x} = \vec{x}$

Espacio vectorial Definici�n: Un conjunto V , cuyos elementos se denotan mediante u, v, w, ..., se dice que es un espacio vectorial sobre el cuerpo K (si K es R se dice que es un espacio vectorial real y si K es C se dice que es un espacio vectorial complejo), si en �l se han definido dos operaciones: la suma, +, como operaci�n interna, de manera que a cada par de elementos u y v de V se le hace corresponder el elemento u+ v de V, y la multiplicaci�n por escalares como operaci�n externa, de manera que a todo elemento u ? V y a todo elemento a ? K le hace corresponder el elemento a � u ? V, que satisfacen las siguientes propiedades: (S1) (Conmutativa) u + v = v + u para todo u, v de V . (S2) (Asociativa) u + ( v + w) = ( u + v) + w para todo u, v, w de V . (S3) Existe un elemento de V, designado por 0 y denominado neutro, tal que u+ 0 = u para todo u de V . (S4) Para todo u de V existe un elemento, designado por ? u y denominado opuesto de u, tal que u + (? u) = 0. (M1) 1 � u = u para todo u de V , donde 1 denota el elemento unidad de K. (M2) (Seudoasociativa) a (b u) = (ab) u para todo u de V y todo a, b de K. (M3) (Distributiva respecto a la suma de escalares) (a + b) u = a u + b u para todo u de V y todo a, b de K. (M4) (Distributiva respecto a la suma de vectores) a ( u + v) = a u + a v para todo u, v de V y todo a de K. Cualquier conjunto Rn tiene estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo de escalares R. No s�lo los Rn tienen estructura de espacio vectorial, tambi�n la tiene el conjunto de matrices Mn�m, el conjunto de polinomios de grado menor o igual que n, el conjunto de funciones continuas en el intervalo [a, b] .... A partir de ahora nos centraresmos en espacios vectoriales sobre el cuerpo de los n�meros reales, K = R. 3.2.1 Propiedades de los espacios vectoriales Si V es un espacio vectorial, se verifica que: 1. Si u, v y w son elementos de V tales que u + w = v + w entonces u = v. 2. Si 0 es el elemento neutro de V y ? ? R entonces ? � 0 = 0. 3. Si v ? V entonces 0 � v = 0. 4. Si v ? V entonces ?1 � v = ? v que es el elemento opuesto de v. 5. Si v ? V y ? ? R tales que ? � v = 0 entonces o bien ? = 0 o bien v = 0.

[editar] Propiedades del espacio vectorial.

Adem�s se cumplen las siguientes 10 propiedades (5 propiedades para la suma vectorial y 5 para el producto por escalares):

(En adelante, y como es costumbre, los vectores se indican con letras latinas con una flecha encima; si no es as� se trata de escalares)

Para la Suma de vectores

Para el Producto por Escalares

1	Cerradura	$\forall \vec{x}, \vec{y} \in V$	$\Rightarrow$	$\vec{x} + \vec{y} \in V$
2	Asociatividad	$\forall \vec{x}, \vec{y}, \vec{z} \in V$	$\Rightarrow$	$(\vec{x} + \vec{y}) + \vec{z} = \vec{x} + (\vec{y} + \vec{z})$
3	Conmutatividad	$\forall \vec{x},\vec{y} \in V$	$\Rightarrow$	$\vec{x} + \vec{y} = \vec{y} + \vec{x}$
4	Inverso Aditivo	$\forall \vec{x} \in V , \; \exists -\vec{x} \in V$	$\Rightarrow$	$\vec{x} + (-\vec{x}) = -\vec{x} + \vec{x} = \vec{0}$
5	Neutro Aditivo	$\forall \vec{x}, \vec{y} \in V$	$\Rightarrow$	$\vec{x} + \vec{0} = \vec{x}$

6	Cerradura	$\forall a \in K$	$\land$	$\forall \vec{x} \in V$	$\Rightarrow$	$a \cdot \vec{x} \in V$
7	Asociativa	$\forall a, b \in K$	$\land$	$\forall \vec{x} \in V$	$\Rightarrow$	$a \cdot (b \cdot \vec{x}) = (a \cdot b ) \cdot \vec{x}$
8	Distributiva 1	$\forall a, b \in K$	$\land$	$\forall \vec{x} \in V$	$\Rightarrow$	$(a + b) \cdot \vec{x} = a \cdot \vec{x} + b \cdot \vec{x}$
9	Distributiva 2	$\forall a \in K$	$\land$	$\forall \vec{x}, \vec{y} \in V$	$\Rightarrow$	$a \cdot (\vec{x} + \vec{y}) = a \cdot \vec{x} + a \cdot \vec{y}$
10	Neutro del producto	$\exists 1 \in K$	$\land$	$\forall \vec{x} \in V$	$\Rightarrow$	$1 \cdot \vec{x} = \vec{x}$

(Aqu� la suma entre escalares es la definida para el cuerpo de escalares; parece lioso pero la suma entre vectores puede ser construida con otras reglas muy diferentes a las de la suma entre escalares. Sin embargo, como ocurre con los vectores geom�tricos habituales y los n�meros reales, una suma puede llevar a la otra o estar relacionadas.)

[editar] Otras propiedades.

Las propiedades de la 1 a la 5 indican que $\mathbf{V}$ es grupo abeliano o conmutativo bajo la suma vectorial.

Tambi�n, de las propiedades anteriores, se pueden probar inmediatamente las siguientes f�rmulas �tiles:

11	$\forall a \in K$	$\land$	$\exists \vec{0} \in V$	$\Rightarrow$	$a \cdot \vec{0} = \vec{0}$
12	$\exists 0 \in K$	$\land$	$\forall \vec{x} \in V , \; \exists \vec{0} \in V$	$\Rightarrow$	$0 \cdot \vec{x} = \vec{0}$
13	$\forall a \in K, \; \exists -a \in K$	$\land$	$\forall \vec{x} \in V , \; \exists - \vec{x} \in V$	$\Rightarrow$	$- (a \cdot \vec{x}) = (-a) \cdot \vec{x} = a \cdot (- \vec{x})$

[editar] Otra forma de definir un espacio vectorial

Podemos utilizar las estructuras algebraicas para una definici�n alternativa, formalmente m�s elegante desde el punto de vista matem�tico.

[editar] Premisas

Sea $\mathbf{V}$ un grupo conmutativo respecto de la ley de composici�n interna +.

Entonces el conjunto de los de $\mathbf{V}$ (escrito $\mathbf{V}$ ), o sea de las aplicaciones lineales de $\mathbf{V}$ , forma un anillo $( \mathbf{V}, +, o)$ , donde o es la ley de la composici�n de las aplicaciones.

Por otra parte, sea el cuerpo $\mathbb{K}$ , con sus leyes + y *; que, por el hecho de serlo, tambi�n es un anillo.

A su vez, para cualquier a de $\mathbb{K}$ , se llama homotecia de raz�n a al morfismo de $\mathbf{V}, h_a: \vec x \mapsto a . \vec x$ . (Como morfismo, es una aplicaci�n $\mathbf{V} \to \mathbf{V}$ , lo que implica el axioma 1 del producto por escalares)

Con estas premisas tenemos la siguiente

[editar] Definici�n

Se dice que $\mathbf{V}$ es un espacio vectorial sobre $\mathbb{K}$ si y s�lo si se tiene

$f:( \mathbb{K}$ , +, * $) \to (\mathbf{V}, +, \circ )$

$a \mapsto h_a$

es un morfismo de anillos.

[editar] Consecuencias de esta definici�n

El hecho que ( V, + ) sea un grupo abeliano resume en s� mismo los axiomas 1, 2, 3, 4 y 5 de la suma vectorial.

El que h_a sea homotecia da cuenta del axioma 4 del producto por escalares ya que es lineal.

El que f sea un morfismo de anillos significa que
- $f (a + b) = f (a) + f (b)$ , es decir que $h a + b = h a + h b$ o sea $(a+b) \vec v = a \vec v + b \vec v$ (axioma 10)
- f(ab) = f(a)o f(b), es decir h_ab = h_ao h_b, o sea $(a.b). \vec x = a.(b. \vec x )$ (axioma 7)
- f(1) = I, o sea h₁ = I, donde 1 es el neutro de (K, .) e I es la identidad, es decir la aplicaci�n $I: \vec x \longrightarrow \vec x$ de V. La identidad es obviamente el neutro de End V. Esto se escribe $1 . \vec v = \vec v$ para cuaquier vector $\vec v$ . (axioma 8 )