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Energ�a cin�tica

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Los carros de una monta�a rusa alcanzan su m�xima energ�a cin�tica cuando est�n en el fondo de su trayectoria. Cuando comienzan a elevarse, la energ�a cin�tica comienza a ser convertida a energ�a potencial gravitacional, pero, si se asume una fricci�n insignificante y otros factores de retardo, la cantidad total de energ�a en el sistema sigue siendo constante.

Para otros usos de este t�rmino v�ase Cin�tica.

La energ�a cin�tica de un cuerpo es una energ�a que surge en el fen�meno del movimiento. Esta definida como el trabajo necesario para acelerar un cuerpo de una masa dada desde su posici�n de equilibrio hasta una velocidad dada. Una vez conseguida esta energ�a durante la aceleraci�n, el cuerpo mantiene su energ�a cin�tica sin importar el cambio de la rapidez. Un trabajo negativo de la misma magnitud podr�a requerirse para que el cuerpo regrese a su estado de equilibrio.

Tabla de contenidos

1 Introducci�n
2 Energ�a cin�tica en mec�nica newtoniana
3 Energ�a Cin�tica en mec�nica relativista
4 Energ�a cin�tica en mec�nica cu�ntica
- 4.1 Energ�a Cin�tica de part�culas en la mec�nica cu�ntica
- 4.2 Energ�a Cin�tica del s�lido r�gido en la mec�nica cu�ntica
5 Energ�a cin�tica y temperatura
6 V�ase tambi�n
7 Referencias

[editar] Introducci�n

Este es el adjetivo "cin�tico" en el nombre energ�a viene de la antigua palabra griega para "movimiento" (kinesis). El t�rmino energ�a cin�tica y trabajo y su significado cient�fico proviene del siglo XIX. Primeros conocimientos de esas ideas pueden ser atribuidos a Gaspard_Gustave Coriolis quien en 1829 public� un art�culo titulado Du Calcul de l'Effet des Machines esbozando las matem�ticas de la energ�a cin�tica. A William Thomson, despu�s conocido como Lord Kelvin, se le otorga el cr�dito por el t�rmino energ�a cin�tica en 1849.

Varias formas de energ�a como la energ�a qu�mica, el calor, la radiaci�n electromagn�tica, la energ�a nuclear, las energ�as gravitacional, el�ctrica, el�stica, etc. pueden ser categorizadas en dos tipos: la energ�a potencial y la energ�a cin�tica.

La energ�a cin�tica puede ser mejor entendida con ejemplos que demuestren como esta se transforma de otros tipos de energ�a y a otros tipos de energ�a. Por ejemplo un ciclista quiere usar la energ�a qu�mica que le proporciono su comida para acelerar su bicicleta a una velocidad elegida. Su rapidez puede mantenerse sin mucho trabajo, excepto por la resistencia del aire y la fricci�n. La energ�a convertida en una energ�a de movimiento, conocida como energ�a cin�tica pero el proceso no es completamente eficiente y el ciclista tambi�n produce calor.

La energ�a cin�tica en movimiento de la bicicleta y el ciclista pueden convertirse en otras formas. Por ejemplo, el ciclista puede encontrar una cuesta lo suficientemente alta para subir, as� que debe cargar la bicicleta hasta la cima. La energ�a cin�tica hasta ahora usada tendr� que convertirse en energ�a potencial gravitatoria que puede liberarse por el otro lado de la colina. (hasta la bicicleta pierde mucha de su energ�a por la fricci�n, esta nunca entregara toda la velocidad que se le otorga pedaleando. Note que la energ�a no se pierde porque solo se ha convertido en otro tipo de energ�a por la fricci�n). Alternativamente el ciclista puede conectar un dinamo a una de sus ruedas y as� generar energ�a el�ctrica en el descenso. La bicicleta podr�a estar viajando mas despacio en el final de la colina porque mucha de esa energ�a ha sido desviada en hacer energ�a el�ctrica. Otra posibilidad podr�a ser que el ciclista aplique sus frenos, en ese caso la energ�a cin�tica podr�a ser disipada a trav�s de la fricci�n en energ�a cal�rica.

Como cualquier cantidad f�sica que sea funci�n de la velocidad, la energ�a cin�tica de un objeto no solo depende de la naturaleza interna del objeto. Esto tambi�n depende de la relaci�n entre el objeto y el observador (en f�sica un observador es formalmente definido por una clase particular de sistema de coordenadas llamado sistema inercial de referencia). Cantidades f�sicas como esta son llamadas invariantes. La energ�a cin�tica esta co-localizada con el objeto y atribuido a ese campo gravitacional.

[editar] Energ�a cin�tica en mec�nica newtoniana

[editar] Energ�a cin�tica de una part�cula

En mec�nica cl�sica, la energ�a cin�tica de un objeto puntual (un cuerpo tan peque�o que su dimensi�n puede ser ignorada), o en un s�lido r�gido que no rote, esta dada la ecuaci�n $E_c = \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} mv^2$ donde m es la masa y v es la rapidez (o velocidad) del cuerpo.

En mec�nica cl�sica la energ�a cin�tica se puede calcular a partir de la ecuaci�n del trabajo y la expresi�n de una fuerza F dada por la segunda ley de Newton:

$E_c = W = \int \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int m \frac{d\vec{v}}{dt} \cdot \vec{v}dt= \frac{1}{2}mv^2$

La energ�a cin�tica se incrementa con el cuadrado de la rapidez. As� la energ�a cin�tica es una medida dependiente del sistema de referencia. La energ�a cin�tica de un objeto est� tambi�n relacionada con su momento lineal:

$E_c = \frac{p^2}{2m}$

[editar] Energ�a cin�tica en diferentes sistemas de referencia

Como hemos dicho, en la mec�nica cl�sica, la energ�a cin�tica de una masa puntual depende de su masa $m$ y sus componentes del movimiento. Estos son descritos por la velocidad $v$ de la masa puntual, as�: $E_c = \frac{1}{2} m v^2.$

En un sistema de coordenadas especial, esta expresi�n tiene las siguientes formas:

Coordenadas cartesianas (x,y,z):

$E_c={1 \over 2} m (\dot x^2+\dot y^2+\dot z^2)$

Coordenadas polares ( $r,?$ ):

$E_c=\frac{1}{2}m \left(\dot r^2 + r^2 \dot \varphi^2 \right)$

Coordenadas cil�ndricas ( $r,?, z$ ):

$E_c=\frac{1}{2}m \left(\dot r^2 + r^2 \dot \varphi^2 + \dot z^2 \right)$

Coordenadas esf�ricas ( $r,?,?$ ):

$E_c=\frac{1}{2}m \left(r^2 \left[\dot \theta^2 + \dot \varphi^2 \sin^2\theta \right] + \dot r^2 \right)$

Con eso el significado de un punto en una coordenada y su cambio temporal se describe como la derivada temporal de su desplazamiento:

$\dot x = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} x(t)$

En un formalismo Hamiltoniano no se trabaja con esas componentes del movimiento, o sea con su velocidad, si no con su impulso $p$ (cambio en la cantidad de movimiento). En caso de usar componentes cartesianas obtenemos:

$E_c = \frac{p_x^2+p_y^2+p_z^2}{2m}$

[editar] Energ�a cin�tica de sistemas de part�culas

Para una part�cula, o para un solido rigido que no este rotando, la energ�a cin�tica va a cero cuando el cuerpo para. Sin embargo, para sistemas que contienen muchos cuerpos con movimientos independientes, que ejercen fuerzas entre ellos y que pueden (o no) estar rotando; esto no es del todo cierto. Esta energ�a es llamada 'energ�a interna'. La energ�a cin�tica de un sistema en cualquier instante de tiempo es la suma simple de las energ�as cin�ticas de las masas, incluyendo la energ�a cin�tica de la rotaci�n.

Un ejemplo de esto puede ser el sistema solar. En el centro de masas del sistema solar, el sol esta (casi) estacionario, pero los planetas y planetoides est�n en movimiento sobre �l. As� en un centro de masas estacionario, la energ�a cin�tica esta aun presente. Sin embargo, recalcular la energ�a de diferentes marcos puede ser tedioso, pero hay un truco. La energ�a cin�tica de un sistema de diferentes marcos inerciales puede calcularse como la simple suma de la energ�a en un marco con centro de masas y a�adir en la energ�a el total de las masas de los cuerpos que se mueven con rapidez relativa entre los dos marcos.

Esto se puede demostrar f�cilmente: sea V la rapidez relativa en un sistema k de un centro de masas i:

$E_c = \int \frac{v_k^2 dm}{2} = \int \frac{(v_i + V)^2 dm}{2} = \int \frac{(v_i^2 + 2 v_i V + V^2) dm}{2} = \int \frac{v_i^2 dm}{2} + V \int v_i dm + \frac{V^2}{2} \int dm$

Sin embargo, sea $\int \frac{v_i^2 dm}{2} = E_i$ la energ�a cin�tica en el centro de masas de ese sistema, $\int v_i dm$ podr�a ser el momento total que es por definici�n cero en el centro de masas y sea la masa total: $\int dm = M$ . Sustituyendo obtenemos:

$E_k = E_i + \frac{M V^2}{2}$ ^[1]

La energ�a cin�tica de un sistema entonces depende del Sistema de referencia inercial y es m�s bajo con respecto al centro de masas referencial, por ejemplo: en un sistema de referencia en que el centro de masas sea estacionario. En cualquier otro sistema de referencia hay una energ�a cin�tica adicional correspondiente a la masa total que se mueve a la rapidez del centro de masas.

A veces es conveniente dividir a la energ�a cin�tica total de un sistema entre la suma de los centros de masa de los cuerpos, en su energ�a cin�tica de traslaci�n y la energ�a de rotaci�n sobre el centro de masas:

$E_c = E_t + E_r \,$

donde: E_c es la energ�a cin�tica total, E_t es la energ�a cin�tica de traslaci�n y E_r es la energ�a de rotaci�n o energ�a cin�tica angular en este sistema.

Entonces la energ�a cin�tica en una pelota de tenis en viaje tiene una energ�a cin�tica que es la suma de la energ�a en su traslaci�n y en su rotaci�n.

[editar] Energ�a cin�tica de un s�lido r�gido en rotaci�n

Para un s�lido r�gido que est� rotando puede descomponerse la energ�a cin�tica total como dos sumas: la energ�a cin�tica de traslaci�n (que es la asociada al desplazamiento del centro de masa del cuerpo a trav�s del espacio) y la energ�a cin�tica de rotaci�n (que es la asociada al movimiento de rotaci�n con cierta velocidad angular). La expresi�n matem�tica para la energ�a cin�tica es:

$E_c = E_{tra} + E_{rot} =\frac{1}{2} m \| \vec{v} \|^2 + \frac{1}{2} \vec{\omega} \cdot (\mathbf{I} \vec{\omega})$

Donde:

$E_{tra}\;$ Energ�a de traslaci�n.

$E_{rot}\;$ Energ�a de rotaci�n.

$m \,$ masa del cuerpo.

$\mathbf{I}$ tensor de (momentos de) inercia.

$\vec{\omega} =$ velocidad angular del cuerpo.

$\vec{v} =$ velocidad lineal del cuerpo.

El valor de la energ�a cin�tica siempre es positivo, y depende del sistema de referencia que se considere al determinar el valor (m�dulo) de la velocidad $\vec{v}$ y $\vec{\omega}$ . La expresi�n anterior puede deducirse de la expresi�n general:

$E_c = \int_M \frac{\| \vec{v} \|^2}{2} dm$

[editar] En la hidrodin�mica

En la Hidrodin�mica cambia con mucha frecuencia la energ�a cin�tica por la densidad de la energ�a cin�tica. Esto se escribe generalmente a trav�s de una peque�a $e$ o una $?$ , as�:

$e_c={1 \over 2} \rho v^2$ , donde

?

describe la densidad del fluido.

[editar] Energ�a Cin�tica en mec�nica relativista

Si la rapidez de un cuerpo es una fracci�n significante de la velocidad de la luz, es necesario utilizar mec�nica relativista para poder calcular la energ�a cin�tica. En relatividad especial, debemos cambiar la expresi�n para el momento lineal y de ella por interaci�n se puede deducir la expresi�n de la energ�a cin�tica:

$E_c = m \gamma c^2 - m c^2 = \frac{m c^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} - m c^2$

Tomando la expresi�n relativista anterior, desarroll�ndola en serie de Taylor y haciendo el l�mite cl�sico se recupera la expresi�n de la energ�a cin�tica t�pica de la mec�nica newtoniana:

$E_c = \lim_{c \to \infty} \frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-mc^2= \lim_{c \to \infty} mc^2\left [\frac{1}{2}\left(\frac{v^2}{c^2}\right)+ \frac{3}{8}\left(\frac{v^2}{c^2}\right)^2+...\right] = \frac{1}{2}mv^2$

La ecuaci�n muestra que la energ�a de un objeto se acerca al infinito cuando la velocidad v se acerca a la velocidad de la luz c, entonces es imposible acelerar un objeto a esas magnitudes. Este producto matem�tico es la f�rmula de equivalencia entre masa y energ�a, cuando el cuerpo esta en reposo obtenemos esta ecuaci�n:

$E_0 = m c^2 \!$

As�, la energ�a total E puede particionarse entre las energ�as de las masas en reposo mas la tradicional energ�a cin�tica newtoniana de baja velocidad. Cuando los objetos se mueven a velocidades mucho m�s bajas que la luz (p.e. cualquier fen�meno en la tierra) los primeros dos terminos de la serie predominan.

La relaci�n entre energ�a cin�tica y momentum es m�s complicada en este caso y viene dada por la ecuaci�n:

$E_c = \sqrt{p^2 c^2 + m^2 c^4} - m c^2$

Esto tambi�n puede expanderse como una serie de Taylor, el primer termino de esta simple expresi�n viene de la mec�nica newtoniana. Lo que sugiere esto es que las f�rmulas para la energ�a y el momento no son especiales ni axiom�ticas pero algunos conceptos emergen de las ecuaciones de masa con energ�a y de los principios de la relatividad.

[editar] Energ�a cin�tica en mec�nica cu�ntica

En la mec�nica cu�ntica, el valor que se espera de energ�a cin�tica de un electr�n, $\langle\hat{T}\rangle$ , para un sistema de electrones describe una funci�n de onda $\vert\psi\rangle$ que es la suma de un electr�n, el operador se espera que alcance el valor de:

$\langle\hat{T}\rangle = -\frac{\hbar^2}{2 m_e}\bigg\langle\psi \bigg\vert \sum_{i=1}^N \nabla^2_i \bigg\vert \psi \bigg\rangle$

donde $m e$ es la masa de un electr�n y $\nabla^2_i$ es el operador laplaciano que act�a en las coordenadas del electr�n i^�simo y la suma de todos los otros electrones. Note que es una versi�n cuantizada de una expresi�n no relativista de energ�a cin�tica en t�rminos de momento:

$E_c = \frac{p^2}{2m}$

El formalismo de la funcional de densidad en mec�nica cu�ntica requiere un conocimiento sobre la densidad electr�nica, para esto formalmente no se requiere conocimientos de la funci�n de onda.

Dado una densidad electr�nica $\rho(\mathbf{r})$ , la funcional exacta de la energ�a cin�tica del n-�simo electr�n es incierta; sin embargo, en un caso espec�fico de un sistema de un electr�n, la energ�a cin�tica puede escribirse as�:

$T[\rho] = \frac{1}{8} \int \frac{ \nabla \rho(\mathbf{r}) \cdot \nabla \rho(\mathbf{r}) }{ \rho(\mathbf{r}) } d^3r$

donde $T [?]$ es conocida como la funcional de la energ�a cin�tica de Von Weizsacker.

[editar] Energ�a Cin�tica de part�culas en la mec�nica cu�ntica

En la teor�a cu�ntica una magnitud f�sica como la energ�a cin�tica debe venir representada por un operador autoadjunto en un espacio de Hilbert adecuado. Ese operador puede construirse por un proceso de cuantizaci�n, el cual conduce para una part�cula movi�ndose por el espacio eucl�deo tridimensional a una representaci�n natural de ese operador sobre el espacio de Hilbert $L^2(\R)$ dado por:

$\hat{E}_c = -\hbar^2 \left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2}{\partial y^2}+ \frac{\partial^2}{\partial z^2}\right)$

que, sobre un dominio denso de dicho espacio formado clases de equivalencia representables por funciones C�, define un operador autoadjunto con autovalores siempre positivos, lo cual hace que sean interpretables como valores f�sicamente medibles de la energ�a cin�tica.

[editar] Energ�a Cin�tica del s�lido r�gido en la mec�nica cu�ntica

Un s�lido r�gido a pesar de estar formado por un n�mero infinito de part�culas, es un sistema mec�nico con un n�mero finito de grados de libertad lo cual hace que su equivalente cu�ntico pueda ser representado por sobre un espacio de Hilbert de dimensi�n infinita de tipo L� sobre un espacio de configuraci�n de dimensi�n finita. En este caso el espacio de configuraci�n de un s�lido r�gido es precisamente el grupo de Lie SO(3) y por tanto el espacio de Hilbert pertinente y el operador energ�a cin�tica de rotaci�n pueden representarse por:

$\mathcal{H} = L^2(SO(3),\mu_h) \qquad \hat{E}_{rot}= \left(\frac{\hat{L}_x^2}{2I_1} + \frac{\hat{L}_y^2}{2I_2} + \frac{\hat{L}_z^2}{2I_3} \right)$

donde $? h$ es la medida de Haar invariante de SO(3), $\hat{L}_i$ son los operadores del momento angular en la representaci�n adecuada y los escalares $I i$ son los momentos de inercia principales.

[editar] Energ�a cin�tica y temperatura

A nivel microsc�pico la energ�a cin�tica promedio de las mol�culas de un gas define su temperatura. De acuerdo con la ley de Maxwell-Boltzmann para un gas ideal cl�sico la relaci�n entre la temperatura (T) de un gas y su energ�a cin�tica media es:

$T = \frac{2}{3\kappa_B}\langle E_k \rangle = \frac{m}{3\kappa_B}\langle v^2 \rangle$

donde $? B$ es la constante de Boltzmann, $m\;$ es la masa de cada una de las mol�culas del gas.

[editar] V�ase tambi�n

[editar] Referencias

Serway, Raymond A., Jewett, John W. (2004). Physics for Scientists and Engineers, 6th ed., Brooks/Cole. ISBN 0-534-40842-7.
Tipler, Paul (2004). Physics for Scientists and Engineers: Mechanics, Oscillations and Waves, Thermodynamics, 5th ed., W. H. Freeman. ISBN 0-7167-0809-4.
Tipler, Paul, Llewellyn, Ralph (2002). Modern Physics, 4th ed., W. H. Freeman. ISBN 0-7167-4345-0.
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Oxford Dictionary, Oxford Dictionary 1998

Wikcionario

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[editar] Energ�a cin�tica en mec�nica newtoniana

[editar] Energ�a cin�tica de una part�cula

[editar] Energ�a cin�tica en diferentes sistemas de referencia

[editar] Energ�a cin�tica de sistemas de part�culas

[editar] Energ�a cin�tica de un s�lido r�gido en rotaci�n

[editar] En la hidrodin�mica

[editar] Energ�a Cin�tica en mec�nica relativista

[editar] Energ�a cin�tica en mec�nica cu�ntica

[editar] Energ�a Cin�tica de part�culas en la mec�nica cu�ntica

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[editar] Energ�a cin�tica y temperatura

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