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Relación de equivalencia

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(Redirigido desde Clase de equivalencia)

Sea K un conjunto dado no vacío y R una relación binaria definida sobre K. Se dice que R es una relación de equivalencia si cumple las siguientes propiedades:

  • Reflexividad: Todo elemento de K está relacionado consigo mismo. Es decir,
\forall x\in K, \; xRx.
  • Simetría: Si un elemento de K está relacionado con otro, entonces ese otro elemento también se relaciona con el primero. Es decir,
\forall x,y\in K, \; xRy \; \Rightarrow \; yRx
  • Transitividad: Si un elemento de K está relacionado con otro, y ese otro a su vez se relaciona con un tercero, entonces el primero estará relacionado también con este último. Es decir,
\forall x,y,z\in K, \; xRy , yRz \; \Rightarrow \; xRz

Una relación de equivalencia R sobre un conjunto K puede denotarse con el par ordenado (K,\sim)\,.

[editar] Clases de equivalencia

La relación de equivalencia \sim define subconjuntos disjuntos en K llamados clases de equivalencia de la siguiente manera: Dado un elemento a\in K, al conjunto dado por todos los elementos relacionados con a

[a] = \{b\in K\,|\,b\sim a\}

se le llama la clase de equivalencia asociada al elemento a. Al elemento a se le llama representante de la clase.

Se llama orden al número de clases que genera una relación de equivalencia; si éste es finito, se dice que la relación es de orden finito. Finalmente, el conjunto de todas las clases de equivalencia se denomina conjunto cociente y se lo suele denotar con

K/\sim\,

[editar] Ejemplos

  • La igualdad entre los elementos de un conjunto.
  • La relación de congruencia módulo M en el conjunto de los números enteros. Donde a \sim b si y sólo si a ? b es múltiplo de M. Esta relación es de equivalencia porque:
  • Es reflexiva: a - a = 0, que es múltiplo de M.
  • Es simétrica: si a - b es múltiplo de M, entonces b - a = -(a - b) también es múltiplo de M.
  • Es transitiva: sean k y l números enteros tales que a - b = M k y b - c = M l. Entonces, a - c = (a - b) + (b - c) = M k + M l = M(k + l) y por tanto un múltiplo de M.

En particular, si M = 2 tenemos la tradicional clasificación de los números enteros en pares e impares.