Recomendar esta página Ver en PDF Imprimir esta página
Wiki de astronomía.
Todo el poder de la Wikipedia y toda la esencia de la astronomía

Caída libre

De Wikipedia, la enciclopedia libre

En cinemática, la caída libre es un movimiento de un cuerpo dentro del campo gravitatorio terrestre.

Tabla de contenidos

[editar] Aceleración en caída libre

Caída libre
Caída libre

Si en este movimiento se desprecia el rozamiento del cuerpo con el aire, es decir, se estudia en el vacío. El movimiento de la caída libre es un movimiento uniformemente acelerado. Para caídas desde alturas de sólo unos pocos kilómetros o metros, la aceleración instantánea debida sólo a la gravedad es casi independiente de la masa del cuerpo, es decir, si dejamos caer un coche y una pulga, ambos cuerpos tendrán la misma aceleración, que coincide con la aceleración de la gravedad (g). Sabemos por la segunda ley de Newton que la suma de fuerzas \mathbf{F} es igual al producto entre la masa del cuerpo y la aceleración. en caída libre sólo intervienen el peso \mathbf{P}, que siempre es vertical, y el rozamiento aerodinámico \mathbf{F}_r(v) que va en la misma dirección aunque en sentido opuesto a la velocidad. La ecuación de movimiento es por tanto:

\mathbf{F} = m\cfrac{d\mathbf{v}}{dt}\hat{\mathbf{j}} = \mathbf{P}\hat{\mathbf{j}}+\mathbf{F}_r\hat{\mathbf{j}} = -mg\hat{\mathbf{j}}-\frac{f_r(v)}{v}\mathbf{v}\hat{\mathbf{j}}


La aceleración de la gravedad se indica con signo negativo, porque tomamos el eje de referencia desde el suelo hacia arriba, los vectores ascendentes los consideraremos positivos y los descendentes negativos, la aceleración de la gravedad es descendente, por eso el signo -.

[editar] Trayectoria en caída libre

[editar] Caída totalmente vertical

El movimiento del cuerpo en caída libre es vertical con velocidad creciente (movimiento uniformemente acelerado con aceleración g). La ecuación de movimiento se puede escribir en términos la altura y:

ma_y = m\frac{d^2y}{dt^2} = -mg + F_r(v_y) (1) 


Donde:

a_y, v_y\;, son la aceleración y la velocidad verticales.
F_r\;, es la fuerza de rozamiento fluidodinámica (que es creciente con la velocidad).
  • Si se desprecia en una primera aproximación la fuerza de rozamiento, cosa que puede hacerse para caídas desde pequeñas alturas de cuerpos relativamente compactos, en las que se alcanzan pequeñas velocidades la solución de la ecuación diferencial (1) para las velocidades y la altura vienen dada por:
\begin{cases} v_y(t)= v_0 - gt \\ y(t) = h_0 + v_0t -\frac{1}{2}gt^2 \end{cases}


Donde v0 es la velocidad inicial, para una caída desde el reposo v0 = 0 y h0 es la altura inicial de caída.

  • Para grandes alturas u objetos de gran superficie (una pluma, un paracaídas) es necesario tener en cuenta la fricción del aire que suele ser modelizada como una fuerza proporcional a la velocidad, siendo la constante de proporcionalidad el llamado rozamiento aerodinámico kw:
ma_y = m\frac{d^2y}{dt^2} = -mg - k_wv_y (2) 


En este caso la variación con el tiempo de la velocidad y el espacio recorrido vienen dados por la solución de la ecuación diferencial (2):

\begin{cases} v_y(t)= v_0e^{-k_wt/m} + \cfrac{mg}{k_w}(e^{-k_wt/m}-1)\\ y(t) = h_0 - \cfrac{mgt}{k_w}+m\left(\cfrac{mg+k_wv_0}{k_w^2}\right)(e^{-k_wt/m}-1) \end{cases}


Nótese que en este caso existe una velocidad límite dada por el rozamiento aerodinámico y la masa del cuerpo que cae:

v_\infty = \lim_{t\to \infty} v_y(t) = -\frac{mg}{k_w}


  • Un análisis más cuidado de la fricción de un fluido rebela que a grandes velocidades el flujo alrededor de un objeto no puede considerarse laminar, sino turbulento y se producen remolinos alrededor del objeto que cae de tal manera que la fuerza de fricción se vuelve proporcional al cuadrado de la velocidad:
ma_y = m\frac{d^2y}{dt^2} = -mg - \epsilon\frac{C_d}{2}\rho A_tv_y^2 (3) 


Donde:

C_d\;, es el coeficiente aerodinámico de resistencia al avance, que sólo depende de la forma del cuerpo.
A_t\;, es el área transversal a la dirección del movimiento.
\rho\;, es la densidad del fluido.
\epsilon = sgn(v_y)\;, es el signo de la velocidad.

La velocidad límite puede calcularse fácilmente poniendo igual a cero la aceleración en la ecuación (3):

v_\infty = \sqrt{\frac{2mg}{C_d\rho A_t}}


La solución analítica de la ecuación diferencial (3) depende del signo relativo de la fuerza de rozamiento y el peso por lo que la solución analítica es diferente para un cuerpo que sube hacia arriba o para uno que cae hacia abajo. La solución de velocidades para ambos casos es:

\begin{cases} v_y(t)= +\sqrt{\cfrac{g}{\alpha}} \tan\left(-t\sqrt{g\alpha} +\arctan\left(v_0\sqrt{\cfrac{\alpha}{g}}\right) \right) & v_0 > 0\\ v_y(t)= -\sqrt{\cfrac{g}{\alpha}} \tanh\left(+t\sqrt{g\alpha} -\mbox{arctanh}\left(v_0\sqrt{\cfrac{\alpha}{g}}\right) \right) & v_0 \le 0 \end{cases}


Donde: \alpha = C_d\rho A_t/2m\;. Con el objeto de simplificar las ecuaciones si v_y(0)=v_0,\ y(0) = h_0\; la integración de la segunda de las ecuaciones se llega a la siguiente ecuación:

y(t)=h_0+\cfrac{1}{\alpha}\ln\left( \cfrac{2e^{\sqrt{g\alpha}t}} {1+e^{2\sqrt{g\alpha}t}} \right) = h_0+\cfrac{1}{\alpha}\ln \cfrac{1}{\cosh \sqrt{g\alpha}t}


[editar] Caída parabólica y casi-parabólica

Cuando un cuerpo cae en caída libre pero no parte del reposo porque tiene una velocidad no nula, entonces la trayectoria de caída no es una recta sino una curva aproximadamente parabólica. La ecuación de la trayectoria en coordenadas cartesianas, donde x va a ser la distancia recorrida horizontalmente y y la altura sobre el nivel del suelo viene dada simplemente por:

\frac{dy}{dx} = \frac{v_y}{v_x} \qquad \qquad \begin{cases} v_y(0) = 0\\ v_x(0) = V_x \end{cases} \qquad \qquad \begin{cases} y(0) = h_0\\ x(0) = 0 \end{cases} (4) 


Donde la expresión de la velocidad vertical debe reescribirse en función de la coordanada x teniendo en cuenta que t = x/vx. Pueden distinguirse los siguientes casos:

  • Para un cuerpo en caída libre sin rozamiento la curva trayectoria es exactamente una parábola dada por:
y(x) = h_0 -\frac{gx^2}{2V_x^2}


  • Cuando se incluye el rozamiento aerodinámico la curva no es exactamente una parábola. Por ejemplo para una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad como en la (2) la trayectoria resulta ser:
y(x) = h_0 - \delta \left[\frac{x}{\beta\delta}-\ln \left(1-\frac{x}{\beta\delta} \right) \right] \qquad \begin{cases} \delta = gm^2/k_w^2\\ \beta = V_xk_w/mg\end{cases}


Para una fuerza de rozamiento proporcional al cuadrado de la velocidad la integración de las ecuaciones del movimiento es más compleja, presuponiendo fuerzas de rozamiento independientes en dirección horizontal y vertical proporcionales al cuadrado del valor de la componente:

\begin{cases} \cfrac{dv_x}{dt} = -C_wv_x^2 \\ \cfrac{dv_y}{dt} = +C_wv_y^2 -g \end{cases}


La trayectoria viene dada por:

y(x) = h_0 - \delta \ln \left[\cosh \left( \frac{e^{x/\delta}-1}{\beta}\right) \right] \qquad \begin{cases} \delta = 1/C_w\\ \beta = \sqrt{g/(C_wV_x^2)} \end{cases}


Las figuras adjuntas muestran la forma de las trayectorias para cinco valores diferentes del parámetro ? para una misma altura de caída (medida en unidades de longitud ?).

Rozamiento -kwv. Trayectorias casi parabólicas con rozamiento proporcional a la velocidad, para cinco valores diferentes de la velocidad horizontal ? = 1.5, ? = 2.5, ? = 3.5 y ? = 4.5, desde una altura h = 7?
Rozamiento -kwv. Trayectorias casi parabólicas con rozamiento proporcional a la velocidad, para cinco valores diferentes de la velocidad horizontal ? = 1.5, ? = 2.5, ? = 3.5 y ? = 4.5, desde una altura h = 7?
Rozamiento -Cwv2. Trayectorias casi parabólicas con rozamiento proporcional a la velocidad, para cinco valores diferentes de la velocidad horizontal ? = 1.5, ? = 2.5, ? = 3.5 y ? = 1.5, desde una altura h = 7?
Rozamiento -Cwv2. Trayectorias casi parabólicas con rozamiento proporcional a la velocidad, para cinco valores diferentes de la velocidad horizontal ? = 1.5, ? = 2.5, ? = 3.5 y ? = 1.5, desde una altura h = 7?






























[editar] Véase también

[editar] Enlaces externos

Caída Libre en Relatividad Especial